একটি ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত ১ : ১ : $\sqrt{২}$ হলে এর বৃহত্তম কোণটির মান কত?

একটি ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত ১ : ১ : \(\sqrt{২}\) হলে আমরা ধরে নিতে পারি ত্রিভুজটির বাহুগুলো হলো \(k\), \(k\) এবং \(k\sqrt{২}\) যেখানে \(k\) একটি ধ্রুবক।

যেহেতু, \(k\sqrt{২}\) হলো বৃহত্তম বাহু, তাই এর বিপরীত কোণটি হবে বৃহত্তম কোণ। আমরা কোসাইন সূত্র (Law of Cosines) ব্যবহার করে বৃহত্তম কোণটি নির্ণয় করতে পারি।

ধরি, বৃহত্তম বাহু \(c = k\sqrt{২}\) এবং অন্য বাহু দুটি \(a = k\) ও \(b = k\)।

কোসাইন সূত্র অনুযায়ী, বৃহত্তম কোণ \(\theta\) হলে:

\(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos\theta\)

মানগুলো বসিয়ে পাই:

\((k\sqrt{২})^2 = k^2 + k^2 - 2(k)(k) \cos\theta\)

\(2k^2 = k^2 + k^2 - 2k^2 \cos\theta\)

\(2k^2 = 2k^2 - 2k^2 \cos\theta\)

\(0 = -2k^2 \cos\theta\)

যেহেতু \(k \neq 0\), সেহেতু \(2k^2 \neq 0\)।

সুতরাং, \(\cos\theta = 0\)

\(\theta = \cos^{-1}(0)\)

\(\theta = 90^\circ\)

সুতরাং, ত্রিভুজটির বৃহত্তম কোণটির মান \(90^\circ\)। এটি একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।

ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত ১ : ১ : \(\sqrt{২}\) একটি বিশেষ সমকোণী ত্রিভুজের অনুপাত নির্দেশ করে, যা ৪৫°-৪৫°-৯০° ত্রিভুজ নামে পরিচিত। এই ত্রিভুজে, সমান বাহু দুটির বিপরীত কোণ ৪৫° করে হয় এবং বৃহত্তম বাহু (\(\sqrt{২}\) অনুপাতের বাহু) এর বিপরীত কোণটি ৯০° হয়। এই অনুপাতটি পিথাগোরাসের উপপাদ্য (\(a^2 + b^2 = c^2\)) সমর্থন করে: \(1^2 + 1^2 = (\sqrt{২})^2 \Rightarrow 1 + 1 = ২ \Rightarrow ২ = ২\)। তাই, এটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ যার বৃহত্তম কোণ \(90^\circ\)।